Embalaje del juego

El embalaje del juego es un problema NP-complete clásico en la teoría de la complejidad computacional y combinatorics, y era uno de los 21 problemas NP-complete de Karp.

Suponga que tenemos un juego finito S y una lista de subconjuntos de S. Entonces, el problema de embalaje del juego pregunta si algunos subconjuntos k en la lista están en parejas desarticulados (en otras palabras, ningunos dos de ellos se cruzan).

Más formalmente, considerando un universo y una familia de subconjuntos de,

un embalaje es una subfamilia de juegos tales que todos los conjuntos están en parejas desarticulados. En el juego que embala el problema de decisión, la entrada es un par y un número entero; la pregunta es si

hay un embalaje del juego de la talla o más. En el juego que embala el problema de optimización, la entrada es un par, y la tarea es encontrar un juego que hace las maletas que usa la mayor parte de juegos.

El problema está claramente en NP desde entonces, dado subconjuntos k, podemos verificar fácilmente que están en parejas desarticulados.

La versión de optimización del problema, embalaje del juego máximo, pide el número máximo de juegos desarticulados pares en la lista. Es un problema de maximización que se puede formular naturalmente como un número entero programa lineal, pertenece a la clase de problemas que hacen las maletas, y su programa lineal dual es el problema de la tapa del juego.

Número entero formulación del programa lineal

El problema de embalaje del juego máximo se puede formular como el número entero siguiente programa lineal.

Ejemplo

Como un ejemplo simple, suponga que está en una convención de embajadores extranjeros, cada uno de los cuales habla inglés y también varias otras lenguas. Quiere hacer un anuncio a un grupo de ellos, pero porque no confía en ellos, no quiere que ellos sean capaces de hablar entre sí sin usted siendo capaz de entenderlos. Para asegurar esto, elegirá un grupo tal que ningunos dos embajadores dicen la misma lengua, además de inglés. la otra mano también quiere dar su anuncio a tantos embajadores como posible.

En este caso, los elementos del juego son lenguas además de inglés, y los subconjuntos son los juegos de lenguas dichas por un embajador particular. Si dos juegos son desarticulados, aquellos dos embajadores no comparten ningunas lenguas además de inglés. Un embalaje del juego máximo elegirá el número más grande posible de embajadores bajo la coacción deseada. Aunque este problema sea difícil de solucionar en general, en este ejemplo un bien heurístico debe elegir a embajadores que sólo dicen lenguas extrañas primero, de modo que no demasiados otros se descalifiquen.

Heurística y problemas relacionados

El embalaje del juego es un entre una familia de problemas relacionados con cubierta o división de los elementos de un juego. Un problema estrechamente relacionado es el problema de la tapa del juego. Aquí, también nos dan un juego S y una lista de juegos, pero el objetivo es determinar si podemos elegir juegos de k que juntos contienen cada elemento de S. Estos juegos se pueden superponer. La versión de optimización encuentra el número mínimo de tales juegos. El embalaje del juego máximo no tiene que cubrir cada elemento posible.

Una ventaja del problema de embalaje del juego consiste en que aun si es difícil para algún k, no es difícil encontrar un k para el cual es fácil en una entrada particular. Por ejemplo, podemos usar un algoritmo avaro donde buscamos el juego que cruza el número más pequeño de otros juegos, añádalo a nuestra solución y quite los juegos que cruza. Continuamente hacemos esto hasta que ningunos juegos se dejen, y tenemos un embalaje del juego de alguna talla, aunque pueda no ser el embalaje del juego máximo. Aunque ningún algoritmo siempre pueda producir resultados cerca del máximo (ver la siguiente sección), en muchas entradas prácticas éstos la heurística hace así.

El problema de la tapa exacto NP-complete, por otra parte, requiere que cada elemento se contenga en exactamente uno de los subconjuntos. El descubrimiento de una tapa tan exacta en absoluto, sin tener en cuenta la talla, es un problema NP-complete. Sin embargo, si creamos un juego de la cosa única para cada elemento de S y añadimos éstos a la lista, el problema que resulta es casi tan fácil como puesto el embalaje.

Karp al principio mostró el juego que embala NP-complete vía una reducción del problema de la camarilla.

Hay una versión ponderada del problema de la tapa del juego en el cual cada subconjunto se asigna un verdadero peso y es este peso que deseamos maximizar. En nuestro ejemplo encima, podríamos cargar a los embajadores según las poblaciones de sus países, de modo que nuestro anuncio alcance a la mayor parte de personas posibles. Parece que esto hace el problema más difícil, pero como explicamos abajo, los resultados más conocidos para el problema general se aplican al problema ponderado también.

Complejidad

El problema de embalaje del juego no es sólo NP-complete, pero su versión de optimización (problema de embalaje del juego máximo general) se ha probado tan difícil de acercarse como el problema de la camarilla máximo; en particular, no se puede acercar dentro de ningún factor constante. El mejor algoritmo conocido se lo acerca dentro de un factor de. La variante ponderada también se puede acercar esto bien.

Sin embargo, el problema realmente tiene una variante que es más manejable: si suponemos que ningún subconjunto exceda elementos k≥3, la respuesta se puede acercar dentro de un factor de k/2 + ε para cualquier ε> 0; en particular, el problema con juegos de 3 elementos se puede acercar dentro aproximadamente del 50%. En otra variante más manejable, si ningún elemento ocurre en más que k de los subconjuntos, la respuesta se puede acercar dentro de un factor de k. Esto también es verdad para la versión ponderada.

Véase también

Notas

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